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MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Pedro Martinez
Publicado: Lun Ene 21, 2008 11:41 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

Definici�n de Integral Definida.

Los conceptos de an�lisis matem�tico -como la derivada o la integral- tal como se presentaban a Newton y sus contempor�neos, a�n no hab�a "roto" del todo con sus or�genes f�sico y geom�trico (velocidad y �rea). De hecho era de un car�cter mitad matem�tico y mitad f�sico. Las condiciones existentes en esa �poca no eran todav�a las apropiadas para lograr una definici�n puramente matem�tica de esos conceptos. Por consiguiente, el investigador s�lo pod�a manejarlos correctamente en situaciones complejas s� permanec�a en contacto inmediato con los aspectos pr�cticos del problema incluso durante las etapas intermedias (matem�ticas) de su razonamiento.

El mayor m�rito de Leibniz fue la creaci�n de un simbolismo matem�tico que expresaba lo esencial de la cuesti�n. Las notaciones por conceptos fundamentales del an�lisis matem�tico tales como la diferencial , la diferencial segunda , la integral , y la derivada fueron propuestas por Leibniz. El hecho de que estas notaciones se utilicen todav�a muestra lo acertado de su elecci�n.
Una de las ventajas de un simbolismo bien elegido es que hace las demostraciones y c�lculos m�s cortos y f�ciles, y evita tambi�n, a veces, conclusiones equivocadas. Leibniz, quien no ignoraba esto, prest� especial atenci�n en todo su trabajo a la elecci�n de notaciones.

Definici�n del �rea de una Regi�n Plana (�rea bajo la curva).
Como ya hemos definido la integral definida como una suma y adem�s hemos visto como se halla el �rea de una regi�n comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo c�lculo para hallar el �rea de una regi�n que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gr�ficas de dos funciones.
El concepto para calcular el �rea entre dos curvas, es el mismo que ya hab�amos estudiado. La regi�n a trabajar, se divide en rect�ngulos, y se determinan los mismos par�metros para calcular el �rea de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicaci�n es que la altura del rect�ngulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.
Teoremas de Integral Definida:
La relaci�n entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del c�lculo integral, que establece que, dada una funci�n f (x), su funci�n integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del c�lculo integral es posible definir un m�todo para calcular la integral definida de una funci�n f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow: Se busca primero una funci�n F (x) que verifique que F� (x) = f (x).
Se calcula el valor de esta funci�n en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendr� entonces dado por:

Teorema del valor medio para la integral definida

La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del c�lculo.

Definir Primer Teorema Fundamental del C�lculo.
El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.
Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c�lculo, permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada.
Aunque los antiguos matem�ticos griegos como Arqu�medes ya contaban con m�todos aproximados para el c�lculo de vol�menes, �reas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matem�tico ingl�s Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

� Los teoremas fundamentales del c�lculo integral
Primer teorema fundamental
Dada una funci�n f integrable sobre el intervalo [Ab.], definimos F sobre [Ab.] por con fijo. El teorema dice que si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Andres Hernandez
Publicado: Lun Ene 21, 2008 8:56 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA:

Es un concepto utilizado para determinar el valor de las �reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funci�n f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funci�n entre los puntos a y b al �rea de la porci�n del plano que est� limitada por la funci�n, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la funci�n entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

La integral definida es un n�mero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definici�n b�sicamente tiene su motivaci�n en el problema de c�lculo de �reas, se aplica para muchas otras situaciones. La definici�n de la integral definida es v�lida a�n cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gr�fica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el n�mero resultante no es el �rea entre la gr�fica y el eje x.

DEFINICION DEL AREA DE UNA REGION PLANA (AREA BAJO LA CURVA)

Es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

TEOREMA DE INTEGRAL DEFINIDA:

� Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo.

� Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

TEOREMA DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DE FINIDAS:

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
=a) -f(c)(b)

DEFINIR PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C�LCULO:

Consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: yessika at
Publicado: Lun Ene 21, 2008 8:52 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA:

Es un concepto utilizado para determinar el valor de las �reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funci�n f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funci�n entre los puntos a y b al �rea de la porci�n del plano que est� limitada por la funci�n, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la funci�n entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

La integral definida es un n�mero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definici�n b�sicamente tiene su motivaci�n en el problema de c�lculo de �reas, se aplica para muchas otras situaciones. La definici�n de la integral definida es v�lida a�n cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gr�fica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el n�mero resultante no es el �rea entre la gr�fica y el eje x.

DEFINICION DEL AREA DE UNA REGION PLANA (AREA BAJO LA CURVA)

Es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

TEOREMA DE INTEGRAL DEFINIDA:

� Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo.

� Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

TEOREMA DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DE FINIDAS:

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
=a) -f(c)(b)

DEFINIR PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C�LCULO:

Consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: malave doysimar
Asunto: MALAVE DOYSIMAR
Publicado: Lun Ene 21, 2008 6:45 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

Definici�n de Integral Definida:

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las �reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funci�n f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funci�n entre los puntos a y b al �rea de la porci�n del plano que est� limitada por la funci�n, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

DEFINICI�N DEL AREA DE UNA REGION PLANA (AREA BAJO LA CURVA).

(Principio de Cavalieri) El �rea de una regi�n plana es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

TEOREMAS DE INTEGRAL DEFINIDA

� Primer teorema fundamental del c�lculo infinitesimal
[Sea f integrable sobre [a, b] y def�nase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

[Una tal funci�n f (x) se llama primitiva de f (x).
[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua..., f es la derivada de alguna funci�n, a saber, la funci�n

� Segundo teorema fundamental del c�lculo infinitesimal
[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna funci�n F, entonces

[Esta igualdad es la famosa f�rmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una funci�n a la obtenci�n de una primitiva de la misma, y constituye as� un enlace entre el c�lculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los m�s grandes matem�ticos se resuelven autom�ticamente con esta f�rmula, que establece sencillamente que la integral definida de la funci�n f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir as�:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS:

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
� Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
a) f(c)(b
Demostraci�n:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que [a, b] por el teorema de x  M  f(x) toma f en el intervalo. Dado que m conservaci�n de desigualdades.Aplicando propiedades:
a)a) M(b m(b entonces m M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m�nimo y su m�ximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en alg�n punto c del intervalo. [a, b]. Queda .demostrado que existe alg�n c tal que f(c)
El teorema fundamental del c�lculo integral : consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.

.- Definir Primer Teorema Fundamental del Calculo.

El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.

Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c�lculo, permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Mariela Leal
Publicado: Lun Ene 21, 2008 5:12 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

profe este es el teorema de valor medio para la integral definida que no la copie:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRAL:

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
� Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
f(c)(b a) 
Demostraci�n:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m  f(x)  M  x  [a, b] por el teorema de conservaci�n de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b a) M(b a) entonces m M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m�nimo y su m�ximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en alg�n punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe alg�n c tal que f(c)  .

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Arianny Gonz�lez
Publicado: Lun Ene 21, 2008 5:03 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 2

1. Definici�n de Integral Definida.

En Matem�ticas, la integraci�n es la forma de resolver dos problemas cl�sicos del An�lisis Matem�tico, estrechamente relacionados:

El c�lculo de �reas y vol�menes de figuras geom�tricas conocidas.
La obtenci�n de la primitiva de una funci�n, esto es, aquella cuya derivada es la funci�n dada, realizando la "operaci�n inversa" a la derivaci�n.

Definici�n 1: Si f es una funci�n continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el n�mero:

= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + �� + f(xn�1)] D x o bien

= donde x0 = a, xn = b y D x = .

(La funci�n se eval�a en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

Definici�n 2: La integral definida es un n�mero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

2. Definici�n del �rea de una Regi�n Plana (�rea bajo la curva).

Para definir el �rea de una regi�n en el plano cartesiano, acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos t�rminos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.

Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del �rea de un rect�ngulo (producto de la base por la altura), de aqu� se deduce que el �rea de un tri�ngulo rect�ngulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometr�a facilita una f�rmula para hallar la medida de cualquier clase de tri�ngulo: "el �rea de un tri�ngulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del �ngulo que forman dichos lados". Debido a que un pol�gono se puede descomponer en tri�ngulos, la obtenci�n de su �rea se consigue mediante la suma de las �reas de los tri�ngulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir �reas s�lo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el �rea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro m�todo, que es el que vamos a estudiar a continuaci�n.

3. Teoremas de Integral Definida.

Teorema del valor medio para la integral definida:

La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del c�lculo.

Teorema:

Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo.
Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

4. Teorema del valor medio para integrales definidas.

Valor promedio de una funci�n:
Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de n�meros dados, s�lo debemos realizar el siguiente c�lculo yprom = . �C�mo calculamos la temperatura promedio durante un d�a si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? �Qu� pasa si queremos hallar el promedio de un n�mero infinito de valores? �C�mo calculamos el valor promedio de la funci�n f(x) = x3 en el intervalo [1, 2]? �C�mo calculamos el promedio de cualquier funci�n aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".

Se propone calcular el valor promedio de la funci�n y = f(x), a � x � b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud D x =. Si ti es un punto cualquiera del i-�simo subintervalo, entonces el promedio aritm�tico o medio de los valores de la funci�n en los ci viene dado por:

Multiplicamos y dividimos por (b - a) y resulta:

La expresi�n es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos asegurar que el promedio de los n valores es veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos (D x � 0, n � � ) se obtiene, teniendo en cuenta la definici�n de integral definida:

El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta fprom = .

El concepto del valor promedio de una funci�n en un intervalo es solamente uno de los muchos usos pr�cticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
f(c)(b - a) =

Demostraci�n:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m � f(x) � M " x � [a, b] por el teorema de conservaci�n de desigualdades. Aplicando propiedades:

m(b - a) M(b - a) entonces m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m�nimo y su m�ximo.
Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en alg�n punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe alg�n c tal que f(c) = .

En c�lculo, el teorema de valor medio tambi�n llamado teorema de los incrementos finitos o teorema de Lagrange dice que dada cualquier funci�n definida y continua [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos alg�n punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formul� Lagrange. Tambi�n se conoce como Teorema de Bonnet-Lagrange. Algunos matem�ticos consideran que este teorema es el teorema m�s importante de c�lculo (ver tambi�n el teorema fundamental del c�lculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matem�ticos; m�s bien, se usa normalmente para probar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

5. Definir Primer Teorema Fundamental del Calculo.

El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.

Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c�lculo, permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada.

Aunque los antiguos matem�ticos griegos como Arqu�medes ya contaban con m�todos aproximados para el c�lculo de vol�menes, �reas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matem�tico ingl�s Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Ingeniero Gonz�lez
_________________
Ingeniera Gonz�lez

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Mariela Leal
Publicado: Lun Ene 21, 2008 4:56 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

Definici�n de Integral Definida.

Los conceptos de an�lisis matem�tico -como la derivada o la integral- tal como se presentaban a Newton y sus contempor�neos, a�n no hab�a "roto" del todo con sus or�genes f�sico y geom�trico (velocidad y �rea). De hecho era de un car�cter mitad matem�tico y mitad f�sico. Las condiciones existentes en esa �poca no eran todav�a las apropiadas para lograr una definici�n puramente matem�tica de esos conceptos. Por consiguiente, el investigador s�lo pod�a manejarlos correctamente en situaciones complejas s� permanec�a en contacto inmediato con los aspectos pr�cticos del problema incluso durante las etapas intermedias (matem�ticas) de su razonamiento.

El mayor m�rito de Leibniz fue la creaci�n de un simbolismo matem�tico que expresaba lo esencial de la cuesti�n. Las notaciones por conceptos fundamentales del an�lisis matem�tico tales como la diferencial , la diferencial segunda , la integral , y la derivada fueron propuestas por Leibniz. El hecho de que estas notaciones se utilicen todav�a muestra lo acertado de su elecci�n.
Una de las ventajas de un simbolismo bien elegido es que hace las demostraciones y c�lculos m�s cortos y f�ciles, y evita tambi�n, a veces, conclusiones equivocadas. Leibniz, quien no ignoraba esto, prest� especial atenci�n en todo su trabajo a la elecci�n de notaciones.

Definici�n del �rea de una Regi�n Plana (�rea bajo la curva).

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y adem�s hemos visto como se halla el �rea de una regi�n comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo c�lculo para hallar el �rea de una regi�n que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gr�ficas de dos funciones.
El concepto para calcular el �rea entre dos curvas, es el mismo que ya hab�amos estudiado. La regi�n a trabajar, se divide en rect�ngulos, y se determinan los mismos par�metros para calcular el �rea de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicaci�n es que la altura del rect�ngulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Teoremas de Integral Definida:

La relaci�n entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del c�lculo integral, que establece que, dada una funci�n f (x), su funci�n integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del c�lculo integral es posible definir un m�todo para calcular la integral definida de una funci�n f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow: Se busca primero una funci�n F (x) que verifique que F� (x) = f (x).
Se calcula el valor de esta funci�n en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendr� entonces dado por:

Teorema del valor medio para la integral definida

La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del c�lculo.

Definir Primer Teorema Fundamental del Calculo.

El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.
Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c�lculo, permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada.
Aunque los antiguos matem�ticos griegos como Arqu�medes ya contaban con m�todos aproximados para el c�lculo de vol�menes, �reas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matem�tico ingl�s Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

� Los teoremas fundamentales del c�lculo integral

Primer teorema fundamental
Dada una funci�n f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por con fijo. El teorema dice que si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Mariela leal ing petroleo

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Janeyra Herrera
Publicado: Dom Ene 20, 2008 5:34 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

Definici�n de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las �reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funci�n f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funci�n entre los puntos a y b al �rea de la porci�n del plano que est� limitada por la funci�n, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Definici�n del �rea de una Regi�n Plana (�rea bajo la curva).

Seg�n el principio de Cavalieri: El �rea de una regi�n plana es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta.

Teoremas de Integral Definida

�Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo.
�Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

Teorema del valor medio para integrales definidas

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
� Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
f(c)(b - a) =

Definir Primer Teorema Fundamental del C�lculo.

El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: maria coronado
Asunto: RESPUESTA FORO 2
Publicado: Dom Ene 20, 2008 2:05 am (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA:

Es un concepto utilizado para determinar el valor de las �reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funci�n f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funci�n entre los puntos a y b al �rea de la porci�n del plano que est� limitada por la funci�n, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la funci�n entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

La integral definida es un n�mero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definici�n b�sicamente tiene su motivaci�n en el problema de c�lculo de �reas, se aplica para muchas otras situaciones. La definici�n de la integral definida es v�lida a�n cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gr�fica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el n�mero resultante no es el �rea entre la gr�fica y el eje x.

DEFINICION DEL AREA DE UNA REGION PLANA (AREA BAJO LA CURVA)

Es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

TEOREMA DE INTEGRAL DEFINIDA:

� Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo.

� Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

TEOREMA DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DE FINIDAS:

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
a) f(c)(b)

DEFINIR PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C�LCULO:

Consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.

BACHILLER: Maria Coronado
C.I: 18.883.587
Ing. de Petr�leo
Seccion "A", 9

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: Carlos Herrera
Publicado: Sab Ene 19, 2008 6:57 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

La continuidad asegura que los l�mites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo independientemente de c�mo elijamos los valores de x para evaluar la funci�n (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definici�n m�s general.

Definici�n de integral definida: Sea f una funci�n continua definida para a � x � b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x0 = a y xn = b y adem�s x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-�simo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a a b es el n�mero =.
La integral definida es un n�mero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

.- DEFINICION DEL AREA DE UNA REGION PLANA (area bajo la curva).

El concepto de �rea lo hemos manejado ampliamente en cursos b�sicos, de hecho para las figuras geom�tricas como el rect�ngulo el c�lculo de su �rea se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el �rea de un tri�ngulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el �rea de cualquier pol�gono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir tri�ngulos en su �rea), calcular el �rea de cada uno de ellos y sumarlas...

.- TEOREMA DE INTEGRAL DEFINIDA.

Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo .

Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

.- TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDA

La relaci�n entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del c�lculo integral, que establece que, dada una funci�n f (x), su funci�n integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del c�lculo integral es posible definir un m�todo para calcular la integral definida de una funci�n f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

Se busca primero una funci�n F (x) que verifique que F� (x) = f (x).
Se calcula el valor de esta funci�n en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

Considerando una funci�n f continua en [a, b] y un valor x � [a, b], es posible definir una funci�n matem�tica de la forma:

donde, para no inducir a confusi�n, se ha modificado la notaci�n de la variable independiente de x a t. Esta funci�n, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de funci�n integral o, tambi�n, funci�n �rea pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el �rea.

.- DEFINIR PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.

consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: roberth galea
Publicado: Sab Ene 19, 2008 12:15 am (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

1) Definici�n de integral definida: Sea f una funci�n continua definida para a � x � b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x0 = a y xn = b y adem�s x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-�simo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n.

2) Definici�n del Area de una Region Plana: El �rea de una regi�n plana es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

3) Teorema de Integral Definida.
La relaci�n entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del c�lculo integral, que establece que, dada una funci�n f (x), su funci�n integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del c�lculo integral es posible definir un m�todo para calcular la integral definida de una funci�n f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
� Se busca primero una funci�n F (x) que verifique que F� (x) = f (x).
� Se calcula el valor de esta funci�n en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

4) Teorema del valor medio para integrales definidas.
dice que dada cualquier funci�n definida y continua [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos alg�n punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))

5) Definir Primer Teorema Fundamental del Calculo.
consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas.

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: robert diaz
Publicado: Vie Ene 18, 2008 9:38 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

La integral definida:

Imaginemos la representaci�n gr�fica de la funci�n y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de �rea A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superfie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos D S, cuya �rea la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensi�n)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser �ste un infinit�simo podemos considerar que el segmento M1N1 est� sobre una recta y puede aplicar la f�rmula A=� S(rarb) d(rarb). Por lo que:
D A =�(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se tiene
D A =�(f(x) + f(x+D x))
D x
y al evaluar el l�mite cuando D x tiende a cero:
Lim D A =Lim �(f(x) + f(x+D x)) =�(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0).
D x
Luego, f(x) es la derivada del �rea; lo que nos indica que el �rea es una funci�n primitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).
Para determinar D A, bastar� calcular f(x+D x)dx - f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx y que es igual a F(x+D x)- F(x).
Definici�n del Area de una Region Plana (area bajo la curva).
El concepto de �rea lo hemos manejado ampliamente en cursos b�sicos, de hecho para las figuras geom�tricas como el rect�ngulo el c�lculo de su �rea se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el �rea de un tri�ngulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el �rea de cualquier pol�gono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir tri�ngulos en su �rea), calcular el �rea de cada uno de ellos y sumarlas...

Primer teorema fundamental
Dada una funci�n f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por con fijo. El teorema dice que si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).
Segundo teorema fundamental
Tambi�n se le llama la Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.
Dada una funci�n f continua en el intervalo [a,b] y sea g(x) cualquier funci�n primitiva de f, es decir g'(x)=f(x), entonces:

Teorema del valor medio para integrales definidas

Teorema del Valor Medio para integrales Valor promedio de una funci�n Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de n�meros dados, s�lo debemos. �C�mo calculamos la temperatura promediorealizar el siguiente c�lculo y promedio durante un d�a si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? �Qu� pasa si queremos hallar el promedio de un n�mero infinito de valores? �C�mo x3 en el intervalo [1, 2]?calculamos el valor promedio de la funci�n f(x) �C�mo calculamos el promedio de cualquier funci�n aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio �continuo�. Se propone calcular el b. Dividimos el intervalo [a, b] x  f(x), a valor promedio de la funci�n y . x en n subintervalos iguales, cada uno con longitud.

Definir Primer Teorema Fundamental del Calculo.
El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.
Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c�lculo, permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada.
Aunque los antiguos matem�ticos griegos como Arqu�medes ya contaban con m�todos aproximados para el c�lculo de vol�menes, �reas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matem�tico ingl�s Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: yordano diaz
Publicado: Vie Ene 18, 2008 5:38 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 32

*: Definici�n de Integral Definida:

es un concepto utilizado para determinar el valor de las �reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funci�n f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funci�n entre los puntos a y b al �rea de la porci�n del plano que est� limitada por la funci�n, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Teoremas de Integral Definida:

-Primer teorema fundamental del c�lculo infinitesimal
[Sea f integrable sobre [a, b] y def�nase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

Una tal funci�n f (x) se llama primitiva de f (x).
el teorema 1 es importante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y

F' = f
si f es continua, f es la derivada de alguna funci�n, a saber, la funci�n

-Segundo teorema fundamental del c�lculo infinitesimal
Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna funci�n F, entonces

Esta igualdad es la famosa f�rmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una funci�n a la obtenci�n de una primitiva de la misma, y constituye as� un enlace entre el c�lculo diferencial y el integral.

* Definir Primer Teorema Fundamental del C�lculo.

Consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas, esto quiere decir que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

* Teorema del valor medio para integrales definidas:

Tambi�n conocido como teorema de los incrementos finitos o teorema de Lagrange dice que dada cualquier funci�n definida y continua [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos alg�n punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos [a, f(a)] y [b, f(b)].

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: socrates ramon castillo
Publicado: Vie Ene 18, 2008 4:16 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 1

respuesta foro n--2

Integral definida
Cuando estudiamos el problema del �rea y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del �rea debajo de la gr�fica de una funci�n como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el l�mite de una suma.
Ejemplos:
[F(x0) + f(x1) + f(x2) +�� + f (xn�1)] D X =
(Se utiliza el valor de la funci�n en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
[F(x1) + f(x2) + f(x3) +�� + f (xn)] D X =
(Se utiliza el valor de la funci�n en el extremo derecho de cada subintervalo)

Definici�n del �rea de una Regi�n Plana (�rea bajo la curva).

Como se ver� m�s adelante, para definir el �rea de una regi�n en el plano cartesiano, acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos t�rminos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.

Sumatoria:

Teoremas de Integral Definida

� Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo .
� Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
� Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
f(c)(b - a) =
Demostraci�n:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m � f(x) � M " x � [a, b] por el teorema de conservaci�n de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b - a) M(b - a) entonces m M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m�nimo y su m�ximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en alg�n punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe alg�n c tal que f(c) = .

Teorema fundamental del c�lculo integral
Consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.
Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones
Segundo teorema fundamental del c�lculo,
Permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada.
_________________
Solo es util el conocimiento que nos hace mejores.

MATEMATICA I - II SEMESTRE :: RE: FORO N� 2: INTEGRAL DEFINIDA

Autor: adan garcia
Asunto: entrega de foro
Publicado: Jue Ene 17, 2008 11:19 pm (GMT 0)
Tema Respuestas: 2

Definici�n de Integral Definida.
LA INTEGRAL DEFINIDA

En Matem�ticas, la integraci�n es la forma de resolver dos problemas cl�sicos del An�lisis Matem�tico, estrechamente relacionados:

El c�lculo de �reas y vol�menes de figuras geom�tricas conocidas.
La obtenci�n de la primitiva de una funci�n, esto es, aquella cuya derivada es la funci�n dada, realizando la "operaci�n inversa" a la derivaci�n.

Definici�n 1: Si f es una funci�n continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el n�mero:

= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + �� + f(xn�1)] D x o bien

= donde x0 = a, xn = b y D x = .

(la funci�n se eval�a en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

Definici�n 3:La integral definida es un n�mero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

.- ***Definici�n del Area de una Region Plana (area bajo la curva).***

para definir el �rea de una regi�n en el plano cartesiano, acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos t�rminos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.

Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del �rea de un rect�ngulo (producto de la base por la altura), de aqu� se deduce que el �rea de un tri�ngulo rect�ngulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometr�a facilita una f�rmula para hallar la medida de cualquier clase de tri�ngulo: "el �rea de un tri�ngulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del �ngulo que forman dichos lados". Debido a que un pol�gono se puede descomponer en tri�ngulos, la obtenci�n de su �rea se consigue mediante la suma de las �reas de los tri�ngulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir �reas s�lo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el �rea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro m�todo, que es el que vamos a estudiar a continuaci�n.

.- ***Teoremas de Integral Definida.***

Teorema del valor medio para la integral definida

La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del c�lculo.

Teorema:

Si una funci�n f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo .
Si f tiene un n�mero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta s�lo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

.-*** Teorema del valor medio para integrales definidas. ***

Valor promedio de una funci�n

Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de n�meros dados, s�lo debemos realizar el siguiente c�lculo yprom = . �C�mo calculamos la temperatura promedio durante un d�a si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? �Qu� pasa si queremos hallar el promedio de un n�mero infinito de valores? �C�mo calculamos el valor promedio de la funci�n f(x) = x3 en el intervalo [1, 2]? �C�mo calculamos el promedio de cualquier funci�n aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".

Se propone calcular el valor promedio de la funci�n y = f(x), a � x � b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud D x =. Si ti es un punto cualquiera del i-�simo subintervalo, entonces el promedio aritm�tico o medio de los valores de la funci�n en los ci viene dado por:

Multiplicamos y dividimos por (b - a) y resulta:

La expresi�n es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos asegurar que el promedio de los n valores es veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos (D x � 0, n � � ) se obtiene, teniendo en cuenta la definici�n de integral definida:

El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta fprom = .

El concepto del valor promedio de una funci�n en un intervalo es solamente uno de los muchos usos pr�cticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema es importante porque asegura que una funci�n continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un n�mero c en este intervalo tal que
f(c)(b - a) =

Demostraci�n:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m � f(x) � M " x � [a, b] por el teorema de conservaci�n de desigualdades.Aplicando propiedades:

m(b - a) M(b - a) entonces m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m�nimo y su m�ximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en alg�n punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe alg�n c tal que f(c) = .
En c�lculo, el teorema de valor medio tambi�n llamado teorema de los incrementos finitos o teorema de Lagrange dice que dada cualquier funci�n definida y continua [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos alg�n punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formul� Lagrange. Tambi�n se conoce como Teorema de Bonnet-Lagrange. Algunos matem�ticos consideran que este teorema es el teorema m�s importante de c�lculo (ver tambi�n el teorema fundamental del c�lculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matem�ticos; m�s bien, se usa normalmente para probar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

.-*** Definir Primer Teorema Fundamental del Calculo.***

El teorema fundamental del c�lculo integral consiste en la afirmaci�n de que la derivaci�n e integraci�n de una funci�n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci�n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem�ticas denominada an�lisis matem�tico o c�lculo.

Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c�lculo, permite calcular la integral de una funci�n utilizando la antiderivada de la funci�n a ser integrada.

Aunque los antiguos matem�ticos griegos como Arqu�medes ya contaban con m�todos aproximados para el c�lculo de vol�menes, �reas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matem�tico ingl�s Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado
_________________
adan garcia